探索勾股數
又快到一年一季的畢業季節啦，各大高校的童鞋們又要開始瘋狂滴寫論文改論文啦，小編在這里對你們表示深深的同情。同情之余，小編也為大家帶來了數學畢業論文，供大家閱讀參考!
摘要：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整數，那么a、b、c稱為勾股數。如果a、b、c 三者互質(它們的最大公因數是1)，它們就稱為素勾股數。勾股數中含有許多規律，我們對其進行了探索。
關鍵詞：勾股數 素勾股數 奇數 偶數 質數
如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整數，那么a、b、c稱為勾股數。如果正整數a、b、 c是勾股數，那么易證它們的正整數倍數也是勾股數：∵a2+b2=c2，∴(na)2 +(nb)2 =n2a2+n2b2=n2(a2+b2)= n2c2=(nc)2,即正整數na、nb、nc也是勾股數。如果a,b, c三者互質(它們的最大公因數是1)，它們就稱為素勾股數。
其實這是生活在2500年前的古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯在擺放小石子時發現的：當小石子的數目是l、3、6、10等數時，小石子都能擺成正三角形，他把這些數叫做三角形數;當小石子的數目是l、4、9、16等數時，小石子都能擺成正方形，他把這些數叫做正方形數……如圖，在一些正方形數里(0當作石子)，左上角第一個框內的數是正方形n2，;第二框內的正方形數是(n+1)2。
顯然，(n+1)2-n2=2n+1。若2n+1是完全平方數，可設2n+1=w2，而它又是奇數，所以w必是奇數。再設w=2p+1,則：
2n+1=(2p+1)2=4p2+4p+1,則n=2p2+2p=2p(p+1),
(n+1)2=[2p(p+1)+1]2，n2=[2p(p+1)]2。
所以[2p(p+1)+1]2-[2p(p+1)]2=(2p+1)2，這組勾股數也叫畢達哥拉斯數。
幾百年后，希臘數學家丟番圖(Diophontus，約250)發現了2mn、m2-n2、m2+n2這組勾股數，他在《算術》一書中論述了求解x2+y2=z2的一般解的問題。
顯然，最短邊為偶數時，勾股數有此規律，而且這些勾股數都是素勾股數。
所以不小于3的自然數為勾股，必存在一組勾股數。素勾股數(不是所有的素勾股數)很多都可用上述列式找出，這亦可推論到，數學上存在無窮多的素勾股數。有些勾股數組可以有同一個最小的勾股數。第一個例子是20，它在以下兩組勾股數之中出現了：20、21、29與20、99、101。
在這里，我們發現了一些事實或規律：
1.勾股數不可能是三個奇數，因為兩個奇數的平方和不可能是第三個奇數的完全平方。比如(2m+1)2+(2n+1)2=4m2+4n2+4m+4n+2是偶數，所以直角三角形較短兩邊(邊為整數)一定是一奇一偶。
2.最短邊為奇數2p+1時，最短邊的平方等于另外兩條邊的和。
設最短邊為2p+1，則(2p+1)2=4p2+4p+1=2p(p+1)+[2p(p+1)+1];
即a2=b+c(a
3.勾股數a、b、c，若a為質數，則2(a+b+1)與2c-1均為完全平方數。理由：勾股數a為質數，a必為奇數，可令a=2p+1，則b=2p2+2p，c=2p2+2p+1;
∴2(a+b+1)=2(2p+1+2p2+2p+1)=4(p+1)2;
2c-1=2(2p2+2p+1)-1=4p2+4p+1=(2p+1)2。
4.注意第一組數“2mn，m2-n2，m2+n2”中若m和n互質，而且m和n至少有一個是偶數，計算出來的a、b、c就是素勾股數(若m和n都是奇數，a、b、c就會全是偶數，不符合互質)。
通過這次的討論發現，日常的一些定理和公理，經過對其深入鉆研，會發現里面蘊涵的東西很豐富，對我們解題很有幫助。我們可以將類似的內容作為學生的課題性學習，開闊學生的思路，達到幫助教學的目的。
參考文獻
1.于鋒 趣談勾股數。
2.彭云龍 勾股數的聯想。
3.數學發展史概述。
【探索勾股數】相關文章：
大班數學《彩色圖形勾一勾》教案10-10
如何練習勾手08-22
勾機跟樁機合同10-06
勾機租賃施工協議書02-27
探索月球作文02-07
我的探索作文04-12
探索發現作文02-19
探索大自然作文11-27
探索自然之旅作文10-07
幼兒探索活動方案11-28