初中數學常見難題

時間：2022-10-26 06:59:15 學習方法

初中數學常見難題

　　(一)數學思想

　　常見的有四大數學思想：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合.1.函數與方程函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題;方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，然后通過解方程(組)來使問題獲解.函數與方程有密切的關系，如一元一次函數baxy+=，就可以看作關于x、y的二元方程0=-+ybax;二元方程0=-+ybax可以看成y是x的一次函數.可以說，函數的研究離不開方程.列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想的體現.2.轉化與化歸轉化與化歸是把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范、簡單的問題.它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換;消元法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了轉化與化歸思想.如很多四邊形的問題可以轉化為三角形的問題來研究;研究兩直線的位置關系可以轉化為研究角的數量關系;如學完初一有理數的運算法則后，將幾種運算法則綜合起來去認識：減法、乘法是轉化為加法來研究的，除法、乘方是轉化為乘法來研究的.再如求不規則圖形的面積可以將其分割或將其補充，轉化為規則圖形來求，等等.3.分類討論在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想.引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

　　(1) 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的.如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況.(2) 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的.如點與圓的位置關系可以分為三種情況.(3) 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論.如研究二次函數cbxaxy++=2的圖象的開口方向時，分a>0和a<0兩種情況討論;研究其圖象與x軸的位置時，就△>0，△>0，△<0，△=0三種情況進行考慮.(4)解某些條件開放題時，需要根據條件的幾種可能情況進行分類.如“過一個三角形一邊上一點，做一條直線，將原三角形分為兩部分，使截得的三角形與原三角形相似，共有幾種辦法”，這就需要就直線的位置進行分類，共有四種辦法.再如證明圓周角定理時，就圓心在圓周角的內部、外部、邊上三種情況進行證明等.進行分類討論時，要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復.4.數形結合初中數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程(組)、不等式(組)、函數等;一類是關于純粹形的知識，如簡單的幾何圖形、三角形、四邊形、相似形、解直角三角形、圓等;一類是關于數形的結合，如數軸上的點和數之間的對應關系，再如銳角三角函數的定義是借助于直角三角形來定義的，等.數形結合包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質，再如“已知線段AB=2cm，在直線AB上有一點C，且BC=6cm，則線段AC的長是 ”，解本題可以畫出圖形，找出點C的兩種不同位置;或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用函數解析式來精確地闡明函數圖象的幾何性質等，再如根據圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系或根據兩圓的半徑與圓心距之間的數量關系來判斷兩圓之間的位置關系等.

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