多邊形內(nèi)角的求解技巧

時間：2022-10-26 07:10:27 學(xué)習(xí)方法

多邊形內(nèi)角的求解技巧

　　1、多邊形的每個內(nèi)角與和它相鄰的外角互為補角。這個條件在題目中一般不會作為已知條件給出，因此，在解題時應(yīng)根據(jù)需要加以利用。

　　例1 一個正多邊形的每個內(nèi)角都比與它相鄰的外角的3倍還多20°，求此正多邊形的邊數(shù)。

　　分析：由于這個正多邊形的每個外角與和它相鄰的內(nèi)角互為鄰補角，根據(jù)題意，可先求出外角的大小，再求邊數(shù)。

　　解：設(shè)每個外角的大小為x°，則與它相鄰的內(nèi)角的大小為(3x+20)度。根據(jù)題意，得

解得

，即每個外角都等于40°。所以

，即這個正多邊形的邊數(shù)為9。

　　2、利用多邊形內(nèi)角和公式求多邊形的邊數(shù)時，經(jīng)常設(shè)邊數(shù)為n，然后列出方程或不等式，利用代數(shù)方法解決幾何問題。

　　例2 已知一個多邊形的每個內(nèi)角都等于135°，求這個多邊形的邊數(shù)。

　　解法1：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得

　　解得n=8，即這個多邊形的邊數(shù)為8。

　　解法2：依題意知，這個多邊形的每個外角是180°-135°=45°。

所以，多邊形的邊數(shù)

，即這個多邊形的邊數(shù)為8。

　　3、正多邊形各內(nèi)角相等，因此各外角也相等。有時利用這種隱含關(guān)系求多邊形的邊數(shù)，比直接利用內(nèi)角和求邊數(shù)簡捷(如上題解法2)。解題時要注意這種逆向思維的運用。

　　例3 一個多邊形除去一個內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和是2570°，求這個多邊形的邊數(shù)。

　　分析：從已知條件可知這是一個與多邊形內(nèi)角和有關(guān)的問題。由于除去一個內(nèi)角后，其余內(nèi)角之和為2570°，故該多邊形的內(nèi)角和比2570°大。又由相鄰內(nèi)、外角間的關(guān)系可知，內(nèi)角和比2570°+180°小�？闪谐鲫P(guān)于邊數(shù)n的不等式，先確定邊數(shù)n的范圍，再求邊數(shù)。

　　解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為(n-2)·180°。依題意，得

解這個不等式，得

。

　　所以n=17，即這個多邊形的邊數(shù)為17。

　　說明：這類題都隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個條件。

　　4、把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是研究不規(guī)則圖形的常用方法，其解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的圖形。

　　例4 如圖1，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的大小。

　　圖1

　　分析：解題關(guān)鍵是把該圖形與凸多邊形聯(lián)系起來，從而利用多邊形內(nèi)角和定理來解決，因此可考慮連接CF。

　　解：連接CF。

　　∵∠COF=∠DOE

　　∴∠1+∠2=∠OCF+∠OFC