談談二元一次方程組中的消元方法

時間：2022-10-26 07:11:46 學習方法

談談二元一次方程組中的消元方法

　　二元一次方程組中的數學思想，主要是指數學的“消元”思想，即：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，將二元一次方程組轉化為一元一次方程，這樣就可以先解出一個未知數，然后再設法求另一個未知數。這種將未知數的個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。

　　具體轉化方法是運用“代入消元法”或“加減消元法”，達到把二元一次方程組中的二個未知數消去一個未知數，得到一元一次方程，從而實現消元，進而解決問題。下面舉例說明：

　　一、利用代入法快速求值：

　　新人教版7年級下冊105頁有這樣的描述：在二元一次方程組的一個方程中，把一個未知數用含另一未知數的式子表示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

　　借此消元思想，我們可以快速地解決許多求定值的問題。

例1.若3x-4y=0，且xy≠0，則的值等于。解. 由3x-4y=0得：3x=4y，把3x=4y代入得 = =

　　點評：此題巧妙借助代入法解決求定值問題。

　　例2. 已知x2-2x-5=0,將下列式子先化簡再求值：(x-1)2

　　+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

　　解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3

　　=3x2-6x-5

　　=3(x2-2x)-5

　　∵ x2-2x-5=0

　　∴ x2-2x=5

　　∴ 原式=3×5-5=10

點評：利用“整體思想”將所給條件x2-2x-5=0變形為x2-2x=5，然后整體代入化簡后的式子3(x2-2x)-5中，可收到“事半功倍”的效果。若先解方程x2-2x-5=0，得x=1±√6，再分別代入3x2-6x-5中求值，則沒有抓住題目特征進行簡便運算。

　　二、利用加減法快速求值：

　　新人教版7年級下冊108頁有這樣的描述：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

　　合理利用此思想，在求值題中同樣可以收到事半功倍的效果。

例3. 若4x+5y=10，且5x+4y=8，則。解：由題意得：

　　由 ① + ② 得：9x+9y=18 即：x + y= 2

　　由 ② - ①得：x - y=-2

所以 -1

　　點評：若直接把4x+5y=10和5x+4y=8組成方程組，求出方程組的解，再把解代入求值。這樣運算量不僅大，而且容易出錯。

　　如果認真分析所求值式，可考慮利用加減法很快求得x+y和x-y的值，于是此題迎刃而解。

　　三、化“未知”為“已知”

例4.已知，則x：y：z= ; 解：將方程組中

　　由② - ① 得：y-3z=0

　　∴ y=3z ③

　　把 ③ 代入 ② 中得： x = 2z

　　∴ x：y：z=2z:3z:z= 2：3：1

　　點評：此方程組中含有三個未知數，要解決該問題，就需要大膽創新，我們初一學生只學習了解二元一次方程組，根據化“未知”為“已知”的“消元”思想，就創造性地把它看作是關于x、y的二元一次方程組，從而找到解決問題的突破口。

　　總之，教師若能在平時教學中合理展示數學思想和具有代表性的數學方法，既可以讓學生明晰數學知識之間的脈絡和聯系，同時還有利于提高學生的解決問題的能力。

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