巧旋轉妙解題

時間：2022-10-26 07:12:25 學習方法

巧旋轉妙解題

　　一個圖形圍繞某一點由一個位置轉到另一個位置的運動叫旋轉，這個點叫做旋轉中心。確定圖形旋轉的三個要素是：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。圖形旋轉的主要特征是：圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等，圖形的形狀與大小沒有發生變化。

　　我們在解題中運用圖形旋轉的主要目的是：把給定的圖形(或其中的一部分)繞某一點旋轉后，圖形會發生新的組合，重組后的圖形能把題目中的條件相對集中，從而使問題得到解決。下面舉例說明運用圖形旋轉法解題的常用技巧。

　　一、三角形中的旋轉技巧

　　1. 當條件中出現三角形某邊的中點時，可將某圖形繞此中點旋轉180°。

　　例1. 如圖1，在△ABC中，D是AB的中點，E、F分別是BC、AC上的點。

求證：

　　圖1

　　分析：由于△ADF與△BDE不在一起，因此，我們只需將△ADF繞中點D旋轉180°得到△BDG，使其與△BDE組成一個四邊形BEDG，從而使問題得到解決。

　　證明：把△ADF繞中點D旋轉180°得到△BDG，其中B與A、G與F分別是對應點，則△BDG≌△ADF。于是

　　∵D是AB的中點

∴D也是GF的中點，故 ∵

　　2. 當條件中的三角形是等腰三角形時，可將含有該等腰三角形一腰的圖形，繞著等腰三角形的頂角頂點進行旋轉，使得兩腰重合。

　　例2. 如圖2，在△ABC中，AB=AC，D是三角形內一點，DC>DB。

　　求證：∠ADB>∠ADC

　　圖2

　　分析：由于已知兩邊的大小關系，與要證的兩角的大小關系沒太大聯系，因此我們需要將圖形進行適當旋轉，使圖形發生重組，然后再探究它們的內在聯系。

　　證明：把△ABD繞點A逆時針旋轉∠BAC，得△ACE，連DE

　　則AE=AD，EC=BD

　　∠AED=∠ADE，∠AEC=∠ADB

　　在△DEC中，∵EC=BD

　　∴DC>EC

　　∴∠DEC>∠EDC

　　∴∠AEC>∠ADC，故∠ADB>∠ADC

　　3. 當條件中的三角形是等邊三角形時，可將含有該等邊三角形一邊的圖形，繞著等邊三角形的頂點進行旋轉，使其與另一邊重合。

　　例3. 如圖3，等邊△ABC中，O為其內一點，且OA=3，OB=5，OC=4，求∠AOC的度數。

　　圖3

　　分析：直接求∠AOC的度數顯然很困難。注意到條件中的三邊長恰是一組勾股數，因此考慮把這三邊集中到一個三角形內，可以構造出一個直角三角形，然后再求角度。我們只要把△ABO繞點A旋轉60°即可。

　　解：將△ABO繞點A逆時針旋轉60°得△ACD，連結OD，則

　　AD=AO=3，DC=OB=5，∠CAD=∠BAO

　　∴∠DAO=∠CAB=60°

　　△AOD為等邊三角形

　　∴∠AOD=60°，OD=3，在△ODC中，

　　∵OD=3，OC=4，DC=5

　　∴∠COD=90°

　　∴∠AOC=∠AOD+∠COD=150°

　　二、多邊形中的旋轉技巧

　　一般而言，當題目給出的圖形是多邊形時，我們常先把其分割成(特殊)三角形，再應用三角形的旋轉技巧進行解決。

　　1. 當條件中的多邊形有兩相等的鄰邊時，常把含其中一邊的三角形進行旋轉，使其與另一等邊重合。

例4. 如圖4，五邊形ABCDE中，AB=AE，，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，連結AD。

　　求證：AD平分∠CDE

　　圖4

分析：注意到，但BC、DE兩條線段不在同一直線上，這是本題的關鍵。由于AB=AE，如果連結AC，我們把△ABC繞點A旋轉，可以使BC、DE移到一起，從而把問題解決。

　　證明：連結AC，把△ABC繞點A逆時針旋轉120°得到△AEF，則

　　∠AEF=∠ABC，EF=BC，AF=AC

　　∴D、E、F三點共線

　　∴△ADF≌△ADC

　　∴∠ADF=∠ADC，即AD平分∠CDE

　　2. 當條件中的多邊形有直角時，常先構造直角三角形，再把這個三角形進行旋轉。

　　例5. 如圖5，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四邊形ABCD的面積為18，求DP的長。

　　圖5

　　分析：注意到△ADP為直角三角形

　　而AD=CD，因此可把△ADP繞點D旋轉，把原圖形進行分割重組，使問題得到解決。

　　解：將△ADP繞點D逆時針旋轉90°得到△CDE，則△CDE≌△ADP

　　∴B、C、E三點共線

　　又∵DP=DE

　　∠DPB=∠ABC=∠CED=90°

　　∴四邊形PBED是正方形

故

　　3. 當條件圖形中出現正方形時，常把含有正方形一邊的直角三角形，繞正方形頂點旋轉90°，使該邊與另一邊重合。(可以看成是前兩種類型的特例)

　　例6. 如圖6，正方形ABCD的邊長為1，AB、AD上各有一點P、Q，如果△APQ的周長為2，求∠PCQ。

　　圖6

　　分析：注意到正方形的特征：四邊相等，四個內角為直角。我們可以把△DCQ繞點C逆時針旋轉90°，使圖形發生重組，利于應用△APQ的周長為2這個條件。

　　解：將△DCQ繞點C逆時針旋轉90°得△BCE

　　則△DCQ≌△BCE，BE=DQ，CE=CQ，∠ECQ=90°

　　∴△QCP≌△ECP

　　通過以上幾例的分析，相信大家對圖形的旋轉技巧有了一定的了解，希望同學們能在理解的基礎上熟練應用。當然關于圖形的旋轉技巧不止以上幾種，這需要大家在學習中去發現、去總結。

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