巧構圖妙解題
對于有些代數題采用常規方法處理往往頗費周折，而利用“圖形”則會取得事半功倍的效果。請看：
例1. 已知a，b，c，d都是正數，并且 。求證： 證明：作 和 ，使斜邊 ， ， (如圖1)。圖1
由 得： 又 所以 又 所以 即例2. A、B兩地相距64千米，甲騎車比乙騎車每小時少行4千米。如果甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，甲比乙先行40分鐘，兩人相遇時所行的路程正好相等。求甲、乙兩人騎車的速度各是多少?
解：如圖2所示，AB表示A、B兩地相距64千米，AC⊥AB
圖2
設AC=x，表示甲的行駛速度，作BD⊥AB
設BD=x+4，表示乙的行駛速度，在AB上，取 ，表示甲在40分鐘所行的路程， ⊥AB，且 =x，連結 與AB交于E，表示甲、乙各在A、B處同時相向而行并相遇于E點，于是 由 ，得 解得： (舍去) 于是即甲、乙兩人騎車的速度分別為12千米/小時和16千米/小時。
例3. 甲對乙說：“當我的歲數是你現在的歲數時，你才4歲。”乙對甲說：“當我的歲數是你現在的歲數時，你將61歲。”請你算一算甲、乙現在的各自歲數。
圖3
解：如圖3，畫兩條直線分別表示甲、乙的年齡，設乙現在的年齡為x歲，從圖形中可以很直觀地看到。當甲為x歲時，乙為4歲;當乙為x歲時，甲為 歲;當乙為 歲時，甲為61歲。根據甲、乙的年齡差不變，可得
解得： 所以答：甲現在42歲，乙現在23歲。
例4. 設a，b，c都是正實數，求證： 證明： 時，顯然成立。由于a，b的地位相同，不妨假設 ，這時要證的不等式轉化為 。圖4
作△ABC(如圖4)，CA=CB，CD為底邊AB上的高，E為CD上的一點，使得 ，由勾股定理得： 又 在△CBE中， 即綜上，命題得證。
例5. 設a，b，c，d均為正數，滿足 ，且a為最大。求證： 。證明：不妨取線段 ，在AC上取一點B，使 ，則 ，以BC為直徑作⊙O，如圖5。圖5
設 ，作割線(或切線) 交⊙O于E，作OF⊥AD，F為垂足。因為 即 因為 ，所以 又 在 中，AO>AF 所以即有【巧構圖妙解題】相關文章：
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