求值域的方法總結

時間：2024-10-20 04:38:20 總結

求值域的方法總結

　　函數值域和定義域的大小,是高中數學�？嫉囊粋€知識點,下面是小編幫大家整理的求值域的方法總結，希望大家喜歡。

求值域的方法總結

　　一.觀察法

　　通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

　　例1求函數y=3+√(2-3x)的值域高三。

　　點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x)的值域。

　　解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，

　　故3+√(2-3x)≥3。

　　∴函數的知域為.

　　點評：算術平方根具有雙重非負性，即：(1)被開方數的非負性，(2)值的非負性。

　　本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)

　　二.反函數法

　　當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

　　例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

　　解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。

　　點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

　　練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y?y<-1或y>1｝)

　　三.配方法

　　當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

　　例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。

　　點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

　　解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

　　點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

　　練習：求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})

　　四.判別式法

　　若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

　　例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。

　　點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

　　解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*)

　　當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2

　　當y=2時,方程(*)無解。∴函數的值域為2

　　點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

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