《二元一次方程與一次函數》教案
一、學情分析：
學生能夠正確解方程（組），掌握了一次函數及其圖像的基礎知識，能夠根據已知條件準確畫出一次函數圖象，已經具備了函數的初步思想，在過去已有經驗基礎上能夠加深對“數”和“形”間的相互轉化的認識，有小組合作學習經驗．
二、 學習目標：
本節課通過探索“方程”與“函數圖像”的關系，培養學生數學轉化的思想，通過學習二元一次方程方程組的解與直線交點坐標之間的關系，使學生初步建立了“數”（二元一次方程）與“形”（一次函數的圖像）之間的對應關系，進一步培養了學生數形結合的意識和能力．因此確定本節課的教學目標為：
1.初步理解二元一次方程和一次函數兩種數學模型之間的關系；
2.掌握二元一次方程組和對應的兩條直線交點之間的關系，通過對兩種模型關系的理解解決問題；
3.發展學生數形結合的意識和能力，使學生在自主探索中學會不同數學模型間的聯系．
教學重點
二元一次方程和一次函數的關系，二元一次方程組和對應的兩條直線交點之間的關系；
教學難點
通過對數學模型關系的探究發展學生數形結合和數學轉化的思想意識．
四、教法學法
1．教法學法
啟發引導與自主探索相結合．
2．課前準備
教具：多媒體課件、三角板．
學具：鉛筆、直尺、練習本、坐標紙．
五、教學過程
第一環節: 探究二元一次方程和一次函數兩種數學模型之間的關系
1. 某水箱有5噸水,若用水管向外排水,每小時排水1噸,則X小時后還剩余Y噸水.
（1） 請找出自變量和因變量
（2） 你能列出X,Y的關系式嗎?
（3） X,Y的取值范圍是什么?
（4） 在平面直角坐標系中畫出這個函數的圖形.（注意XY的取值范圍）.
2．（1）方程x+y=5的解有多少個？你能寫出這個方程的幾個解嗎？
（2）．在直角坐標系內分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數Y=5-X的圖象上嗎？
（3）．在一次函數y=?x?5的圖像上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？
（4）．以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖像與一次函數y=?x?5的圖像相同嗎？
x+y=5與 y=?x?5表示的關系相同
一般地，以一個二元一次方程的解為坐標的點組成的圖象與相應的一次函數的圖象相同，是一條直線．
目的：通過設置問題情景，讓學生感受方程x+y=5和一次函數y=?x?5相互轉化，啟發引導學生總結二元一次方程與一次函數的對應關系．
前面研究了一個二元一次方程和相應的一個一次函數的關系，現在來研究兩個二元一次方程組成的方程組和相應的兩個一次函數的關系．順其自然進入下一環節．
第二環節 自主探索方程組與一次函數兩種數學模型之間的關系
探究方程與函數的相互轉化
1．兩個一次函數圖象的交點坐標是相應的二元
一次方程組的解
（1）一次函數y=5-x圖象上點的坐標適合方程x+y=5，那么一次函數y=2x-1圖象上點的坐標適合哪個方程？
（2）兩個函數的交點坐標適合哪個方程？
?x?y?5（3）．解方程組?驗證一下你的發現。 2x?y?1?
練習：隨堂練習1 。鞏固由一次函數的交點坐標找相應的二元一次方程組的解。
2．二元一次方程組的解是相應的兩個一次函數圖象的交點坐標。
?x?y?2（1）解?
?2x?y?5（2）以方程x+y=2
（3）以方程2x+y=5（4）方程組的解為坐標的點在圖象上是哪個點？
（5目的：通過自主探索，使學生初步體會“數”（二元一次方程組的解）與“形”（兩條直線）兩種模型之間的對應關系，
由學生自主學習，十分自然地建立了數形結合的意識，學生初步感受到了“數”的問題可以轉化為“形”來處理，反之“形”的問題可以轉化成“數”來處理，培養了學生的創新意識和變式能力．
練習：知識技能1。鞏固由方程組的解求相應的一次函數的交點坐標。更深入的體會二元一次方程組的解與一次函數交點坐標之間的對應關系。
第三環節模型應用
1．某公司要印制產品宣傳材料.
1500元制版費. 甲印刷廠:每份材料收1元印制費, 另收 乙印刷廠:每份材料收2.5元印制費, 不收制版費.若公司要印制x份宣傳材料，y甲表示甲印刷廠的費用，y乙表示乙
印刷廠的費用。
（1） 請分別表示出兩個印刷廠費用與X的關系式。
（2） 在同一直角坐標系中畫出函數的圖象。
（3） 如何根據印刷材料的份數選擇印刷廠比較合算？
第四環節 模型特例
想一想
內容：在同一直角坐標系內， 一次函數y = x + 1 和 y = x - 2 的圖象（教材
?x?y??1124頁圖5-2）有怎樣的位置關系？方程組?解的情況如何？你發現了什x?y?2?
么？
二元一次方程的解和相應的兩條直線的關系２．
（1）觀察發現直線平行無交點；
（2）小組研究計算發現方程組無解；
（3）從側面驗證了兩直線有交點，對應的方程組有解，反之也成立；
（4）歸納小結：兩平行直線的k相等；方程組中兩方程未知數的系數對應成比例方程組無解。
目的：進一步揭示“數”與“形”轉化關系．通過想一想，將兩直線的另一種位置關系：平行與方程組無解相結合，這是對第二環節的有益補充。體現了從一般到特殊的的思想方法，有利于培養學生全面考慮問題的習慣．
進一步培養了學生數形結合的意識和能力，充分展示了方程與函數的相互轉化．進一步挖掘出兩直線平行與k的關系。
效果：加深了兩條直線交點的坐標就是對應的函數表達式所組成的方程組的解的印象，培養了學生的計算能力和數學轉化的能力，使學生進一步領悟到應用數形結合的思想方法解題的重要性．
第五環節 課堂小結
內容：以“問題串”的形式，要求學生自主總結有關知識、方法：
1．二元一次方程和一次函數的圖像的關系；
以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖像上；
一次函數圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程．
2．方程組和對應的兩條直線的關系：
方程組的解是對應的兩條直線的交點坐標；
兩條直線的交點坐標是對應的方程組的解；
第六環節 作業布置
習題5．7
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