求角的度數方法

時間：2022-10-26 07:10:41 學習方法

求角的度數方法

　　在學習與三角形有關的角時，同學們會遇到許多求角的大小的問題，其中有些題目看似簡單，卻很難入手，有些題目因思考不全面而造成漏解。怎么辦?要知道，數學思想方法是數學的靈魂，是解決數學問題的金鑰匙。本文就談談數學思想方法在求解角的度數問題中的運用，希望對同學們解題有所幫助。

1、整體法
       例1 如圖1，若點P為△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分線的交點，求∠BPC∠A的度數。

圖1
       分析：解本題的關鍵在于從整體著眼，利用∠PBC+∠PCB建立∠A和∠BPC的聯系。
       解：∵∠PBC=∠ABC
       ∠PCB=∠ACB
       ∠BPC=180°－（∠PBC+∠PCB）
       ∴∠BPC－∠A

2、方程法
       例2 如圖2，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BD、CE相交于點H，求∠BHC的度數。

圖2
       分析：根據三角形的內角和定理，結合已知條件可先求出∠A、∠ABC、∠ACB的度數。在△BHC中，還需求出∠DBC和∠ECB的度數。
       解：設∠A=3x度，則∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。
       所以。
       解得x=15，即∠A=45°，∠ABC=60°，∠ACB=75°
       在△DBC中，由∠BDC=90°，可知△DBC是直角三角形。
       所以∠DBC=90°－75°=15°
       在△ECB中，由∠CEB=90°，可知△ECB是直角三角形。
       所以∠ECB=90°－60°=30°
       在△BHC中，∠BHC=180°－15°－30°=135°
       點評：由于∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，設∠A=3x度，則∠ABC=4x度，∠ACB=5x度。再根據三角形內角和定理，就可以得到一個關于x的方程，即。從而求得∠A、∠ABC、∠ACB的度數。這種方法會經常用到，要注意掌握。
3、分類法
       例3 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和高CE所在的直線相交于點H，求∠BHC的度數。
       分析：三角形的形狀不同，高線的交點的位置也不同。當三角形為銳角三角形時，高的交點在其內部；當三角形為鈍角三角形時，高的交點在其外部。故應分兩種情況討論。
       解：（1）設△ABC為銳角三角形（如圖3）。

圖3
∴BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，
∴∠ABD=90°－45°=45°
∴∠BHC=∠ABH+∠BEH
=45°+90°
=135°
（2）設△ABC為鈍角三角形（如圖4）

圖4
∴H是△ABC的兩條高所在直線的交點，∠A=45°，
∴∠DCH=∠ECA
        =90°－45°
        =45°
∴∠BHC=90°－∠DCH
        =90°－45°
        =45°
綜上可知，∠BHC的大小是135°或45°。
4、構造法
       例4 如圖5，BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，BE與CF交于點G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度數。

圖5
       分析：若把∠BDC、∠BGC、∠A看成是三角形的內角，則必須構造三角形。結合圖形不難發現，連接BC即可。
       解：連接BC。
       ∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
       ∠BDC=140°
       ∴∠DBC+∠DCB=40°
       又∠BGC+∠GBC+∠GCB=180°
       ∠BGC=110°
       ∴∠GBD+∠GCD=180°－110°－40°=30°
       ∵∠GBD∠ABD
       ∠GCD=∠ACD
       ∴∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=60°
∴∠A=180°－（∠ABC+∠ACB）
     =180°―60°―40°
     =80°。
       點評：此題還可延長CD交BE于一點，請同學們嘗試一下這種解法。在進行與角有關的計算時，為了能使用三角形內角和定理及內角與外角的關系，常常需要構造三角形或三角形的外角，這時需要添加某些線段或延長某些線段。

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