求解微分方程的線性多步法

時間：2022-10-05 17:57:02 數學畢業論文

求解微分方程的線性多步法

　　求解微分方程的線性多步法

　　摘要: 微分方程初值問題的求解一直是人們所關注的熱點問題,本文針對微分方程初值問題的線性多步法,利用它們的局部截斷誤差的主項系數的某種組合對它們進行修正,提出了預測―校正算法,并給出了幾種常用的預測―校正算法。

　　關鍵詞: 微分方程初值問題線性多步法

　　1.微分方程初值問題的基本解法

　　=f(t,u)u(t)=u(1)

　　其中f為t和u的已知函數,u為給定的初值。我們假設函數f(t,u)在區域:t≤t≤T,|u|<∞內連續,并且u滿足Lipschitz條件,即存在常數L,對所有t∈[t,T]和u,u,有|f(t,u)-f(t,u)|≤L|u-u|。在上述基本假設下,初值問題(1)在區間[t,T]上有唯一解,并且u(t)為連續可微的。

　　將區間[0,T]作N等分,小區間的長度h=T/N稱為步長,點列t=nh(n=0,1,…,N)稱為節點,t=0。由已知初值u(t)=u,可算出u(t)在t=t的導數值u′(t)=f(t,u(t))=f(t,u)。利用Taylor展式得u=u+hf(t,u),u就是u(t)的近似值。利用u又可算出u,如此下去可算出u在所有結點上的值,一般遞推公式為u=u+hf(t,u),n=0,1,…,N-1。

　　由文獻[1]知,求解該類方程分為單步法和多步法。只要利用h,t和u即可算出u的算法稱為單步方法,單步法包括Euler法、梯形法、Runge-kutta法,其一般形式為u=u+hφ(t,u;h),函數φ稱為增量函數,它依賴于所給的微分方程。用單步法求出{φ},m=1,2,…,N只需要一個初值u。

　　需要用到h,t,t,…,t和h,u,u,…,u才能求出u(k>1)的算法稱為多步方法,線性多步法包括數值積分法和待定系數法,其一般形式為αu=hβf,這里α,β(j=0,1,K,k)是常數,它需要有k個初值u,u,…,u才能得到整個序列{u},m=1,2,…,N。

　　2.線性多步法的改進

　　常微分方程初值問題只給我們提供了一個初值,但線性k步方法需要k個初始值u,u,…,u,所以這其余的k-1個初始值就要通過其他方法來先期得到。最容易想到的是采用簡單的單步方法,如Euler方法,或改進的Euler法,但它們的收斂階較低。為保證整個計算的精度,我們應使初始值的計算精度至少與所用的線性多步方法同階。

　　因此,若使用的線性多步方法為q階[2],[3]的,可以用q階Taylor展開方法或Runge-kutta方法來求u,u,…,u,然后進入正式的求解過程。用Taylor展開確定初始值的同時還能得到關于選擇h的信息。如要求計算誤差不超過ε,則應使

　　h|u(t)|≤εh|u(t)|>ε

　　同時成立。當微商次數增大時,計算量也將急速增大,因此利用低階微商構造高精度的方法對實際計算是很有意義的,對u(t)=u(t)+?蘩u′(t)dt利用u′(t)在點t,t處的函數值及其各階導數值構造Hernite型插值多項式,再代積分,舍去誤差項即可得到帶導數值的計算公式。

　　對隱式的計算格式一般采用迭代解法,將隱式線性多步方法改寫成

　　u-hβf(t,u)=-(αu-hβf)(2)

　　由于F是已知的,于是(2)式可用迭代法求解。

　　迭代法都需要有u,即u的迭代初值。選取一個好的u無疑是十分重要的,很自然的想法是用顯格式算出u――這稱為預測,再用隱格式進行迭代求u――這稱為校正,因此整個過程稱為預測―校正算法[4],簡稱PC算法。顯然,預測的P式與校正的C式的階一般應取成相同的。

　　預測―校正算法求u的過程一般如下:

　　P∶u=αu-hβf,

　　E∶f=f(t,u)C∶u=-αu+h(∑βf+βfs=1,2,…,n,

　　u=u,f=f(t,u)。

　　由于使用了同階的預測公式求得初始近似u,因此一般說來校正次數不會太多,大約兩三次就夠了。若校正步數太多則往往提示步長過大,應適當減小步長后再進行計算。實際計算中經常利用算式與算式同階的特點,對(3)式再作一些修正。用線性組合的方法消去每個格式中的截斷誤差主項。僅花費很小的代價就使方法的精度再提高一階,從而不需要再通過迭代來改善計算的近似值。

　　設預測算式和校正算式的局部截斷誤差分別為

　　Δ[u(t),h]=chu(t)+o(h)(3)

　　Δ[u(t),h]=chu(t)+o(h)(4)

　　整理后分別得到:

　　u(t)-[u+(u-u)]=o(h)(5)

　　u(t)-[u+(u-u)]=o(h)(6)

　　這兩個式子告訴我們,在求(u和u)后,再利用它們的局部截斷誤差[5],[6]的主項系數的某種組合對它們進行修正,可使得修正后的局部截斷誤差比原來高一階,即達到o(h)。這里和被稱為修正系數。

　　直接按照(5)式對u進行修正是不行的,因為此時的u還沒有算出。但是,在計算u的近似值時,u已經算出來了,因此u和u也都已經有了,這時可以用u-u去代替(5)中的u-u。

　　綜上所述,我們可以將帶修正的預測―校正算法的一般形式表示如下:

　　P∶u=-α+hβfM∶+(u-u)E∶=f(t,)C∶u=-α+hβ+hβfM∶u=u+(u-u)E∶f=f(t,u)(7)

　　在多步方法中,改善步長將帶來一個新問題,就是結點變了。在預期結點處已經算出的近似值,對于計算當前結點來說,很多都用不上了,而在以新步長為單位的結點處,往往并沒有計算過相應的近似函數值。在使用的方法中,一般采用插值的方法去補上所需的這些點上的近似值再進行計算。

　　下面給出幾種常用的帶修正的預測―校正算法。